Yksikköympyrä
Yksikköympyrä on trigonometrian peruskäsite, joka auttaa ymmärtämään trigonometrisia funktioita (sin, cos, tan) ja niiden käyttäytymistä eri kulmilla. Tässä artikkelissa perehdymme yksikköympyrään ja sen ominaisuuksiin.
Mikä on yksikköympyrä?
Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on tasan 1 yksikkö ja jonka keskipiste on origossa (0, 0). Tämä ympyrä on erityisen hyödyllinen trigonometriassa, koska se mahdollistaa trigonometristen funktioiden määrittelyn kaikille kulmille, ei vain suorakulmaisen kolmion kulmille.
Yksikköympyrän ominaisuuksia
- Ympyrän säde on aina 1.
- Keskipiste on origossa (0, 0).
- Kulma α mitataan x-akselilta vastapäivään.
- Positiiviset kulmat kiertyvät vastapäivään, negatiiviset myötäpäivään.
- Yhden kierroksen jälkeen (360° tai 2π radiaania) palataan lähtöpisteeseen.
Trigonometriset funktiot yksikköympyrässä
Yksikköympyrän avulla voidaan määritellä trigonometriset funktiot sin, cos ja tan seuraavasti:
Nämä määritelmät toimivat kaikille mahdollisille kulman α arvoille, mikä tekee yksikköympyrästä erittäin hyödyllisen työkalun trigonometriassa.
Sin, cos ja tan kaavat
Yksikköympyrästä voidaan johtaa useita tärkeitä trigonometrisia kaavoja:
Sin, cos ja tan taulukko
Alla olevassa taulukossa on esitetty sin, cos ja tan arvot yleisimmille kulmille yksikköympyrässä:
| Kulma | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | undefined |
Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Alla olevat kuvaajat näyttävät sin, cos ja tan funktioiden käyttäytymisen:
sin(x)
cos(x)
tan(x)
Yksikköympyrän sovelluksia
Yksikköympyrää käytetään monissa matematiikan ja fysiikan sovelluksissa, kuten:
- Värähtelyliikkeiden analysoinnissa
- Sähkömagneettisten aaltojen kuvaamisessa
- Kompleksilukujen esittämisessä
- Avaruusgeometriassa ja 3D-mallinnuksessa