Toisen Asteen Yhtälö Laskuri

Toisen asteen yhtälöt ovat matematiikan peruskäsitteitä, joita käytetään monissa käytännön sovelluksissa. Ne auttavat meitä mallintamaan ilmiöitä fysiikasta talouteen.

Kerroin a:

Kerroin b:

Kerroin c:

Kuvaaja

Yleinen muoto

\[ax^2 + bx + c = 0\]

missä a ≠ 0

Ratkaisukaava

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Esimerkki 1: Diskriminantti > 0

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Ratkaisut: x = 2 ja x = 3

Esimerkki 2: Diskriminantti = 0

\[x^2 - 4x + 4 = 0\]

Ratkaisu: x = 2 (kaksoisjuuri)

Tiesitkö?

Babylonialaiset ratkaisivat toisen asteen yhtälöitä jo 2000 eaa. He käyttivät geometrisia menetelmiä ratkaisujen löytämiseen.

Testaa taitosi!

Mikä on yhtälön x² + 2x + 1 = 0 diskriminantti?

Vietan kaavat

Jos x₁ ja x₂ ovat yhtälön ax² + bx + c = 0 juuret:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]

Huipun koordinaatit

\[x = -\frac{b}{2a}\] \[y = -\frac{\Delta}{4a}\] \[\text{missä } \Delta = b^2-4ac\]

Diskriminantin vaikutus

Δ > 0: kaksi reaalijuurta
Δ = 0: kaksoisjuuri
Δ < 0: kompleksijuuret

Paraabelin ominaisuudet

a > 0: aukeaa ylöspäin
a < 0: aukeaa alaspäin
|a|: paraabelin "leveys"

Käsite	Kaava	Esimerkki
Diskriminantti	\[b^2-4ac\]	x² - 4x + 4 = 0 → Δ = 0
Nollakohdat	\[\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]	x² - x - 2 = 0 → x = 2 tai x = -1
Huippu	\[(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})\]	x² + 2x + 1 = 0 → (-1, 0)

📈

Fysiikassa

Heittoliikkeen rata noudattaa toisen asteen yhtälöä. Esimerkiksi keihäänheitossa tai kuulantyönnössä voidaan laskea optimaalinen kulma.

🏗️

Rakentamisessa

Siltojen kaarirakenteiden suunnittelussa käytetään paraabelin muotoa, koska se jakaa painon tehokkaasti.

Symmetria

Paraabeli on aina symmetrinen huippunsa kautta kulkevan pystysuoran akselin suhteen.

Nollakohdat

Nollakohdat ovat pisteet, joissa paraabeli leikkaa x-akselin.